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数学的奥秘本质与思维

101若可导函数?(x)在区间I上单调，则其导函数?′(x)也单调。（）

102如果函数在的某邻域内都有，则在该邻域内单调递减。（）

103求函数的极值。（）

104函数?(x)在区间[a,b]上的最大（小）值点必定也是极大（小）值点。（）

105如果函数在区间I上有连续的导函数，则在区间I内有这样的，使得是极值的同时又是拐点。（）

106作半径为r的球的外切正圆锥，圆锥的高为（）时，能使圆锥的体积最小。

113若可导函数?(x)在区间I的范围内是凸（凹）的，则?′(x)在I的范围内单调增加（减少）。（）

114如果可导函数?(x)的导函数?′(x)在I的范围内单调增加（减少），则?(x)在I的范围内是凸（凹）。（）

115函数y=lnx的凸性是（）。

116若曲线在拐点处有切线，则曲线在拐点附近的弧段分别位于这条切线的两侧。（）

117若函数?(x)在区间I的范围上是凸（凹）的，则-?(x)在区间I内是凹（凸）。（）

118设，则（）

119设函数?(x)=|x(1-x)|，下列说法中不正确的是（）。

120函数的关键几何特征包括：函数的周期性，奇偶性，单调性，连续性，凹凸性等。（）

121研究函数时，描绘函数图像来形象了解函数的主要特征，是数学研究的常用手法。（）

122泰勒公式是拉格朗日中值公式的延伸。（）

123函数在一点的泰勒多项式是该函数在附近的近似表达式，比起函数的一次近似，高阶泰勒多项式有更差的近似精度。（）

124在x→0时，?(x)=sinx-x(1+x)是（）阶无穷小。

125当时，是几阶无穷小？（）

126麦克劳林公式是泰勒公式在x=0展开时的特例。（）

127若?(x)在x=0的邻域内有n阶连续的导数，并且可以表达为n阶多项式带余项的形式，则该表达式唯一。（）

128泰勒公式是麦克劳林公式在时的特殊情形。（）

129如果在的邻域内有阶连续的导数并且可以表达为，那么该表达式不唯一。（）

130求的近似值，精确到。（）

131求函数极限。（）

132多项式在上有几个零点？（）

133通常来说，若应用导数研究函数性质只涉及一阶导数，则考虑使用中值定理，若问题涉及高阶导数时，则考虑泰勒展式。（）

134泰勒公式给出的在局部用多项式逼近函数的表达式，是计算的重要工具。（）

135一个函数若在区间内存在原函数，则该函数一定是连续函数。（）

136定义在区间内的连续函数存在原函数。（）

137函数的和的不定积分也等于各个函数不定积分的和。（）

138求解不定积分常用的三种基本方法依次为：第一换元法，第二换元法，分部积分法。（）

139海王星是人们通过牛顿运动定理和万有引力定理推导出常微分方程研究天王星的运行轨道异常后才发现的。（）

140微分方程的通解囊括了微分方程的所有解。（）

141（）是阿基米德生活的年代区间。

142（）首先计算出了抛物线所围弓形区域的面积。

143阿基米德是如何把演绎数学的严格证明和创造技巧相结合去解决问题的？（）

144阿基米德使用穷竭法得到弓形区域的面积。（）

145阿基米德使用逼近法算出球面积、球体积、抛物线、椭圆面积。（）

146微分思想与积分思想两种思想（）出现得更早。

147微积分主要是由（）创立的。

148现代微积分通行符号的首创者是（）。

149微积分创立的初期牛顿和莱布尼兹都没能解释无穷小量和零的区别。（）

150微积分于十七世纪才初见端倪。（）

151如果在上，，则与的大小（）。

152不论的相对位置如何，比较与的大小？（）

153对任意常数,比较与的大小?（）

154定义黎曼积分中的Λ→0，表示对区间[a,b]的划分越来越细的过程。随着Λ→0，一定有小区间的个数n→∞。反之n→∞并不能保证Λ→0。（）

155区间[a,b]上的连续函数与只有有限个间断点的有界函数一定可积。（）

156函数x在区间[0,1]上的定积分是（）。

157牛顿-莱布尼兹公式不但为计算定积分提供了一个有效的方法，并且在理论上也把定积分与不定积分联系了起来。（）

158莱布尼兹公式告诉我们：如果函数f(x)在[a,b]上连续，还存在原函数，那么f在区间[a,b]上一定可积。（）

159积分

160求一曲边形的面积实际上是求一个函数的不定积分。（）

161初等数学一般只考虑直边形的面积。（）

162一长为28m,质量为20kg的均匀链条被悬挂于一建筑物的顶部，问需要做（）功能把这一链条全部拉上建筑物的顶部。

163微元分析法的思想即以直代曲和舍弃高阶无穷小量方法，即用不变代变思想。（）

164微元分析法是处理面积，体积，功等具有可加性问题的重要思想方法。（）

165用一元函数的定积分能够计算旋转体的体积。（）

166设由连续曲线及直线所围成的曲边形绕轴旋转一周得到的旋转体的表面积为。

167心形线ρ=α(1+cosφ)的周长是（）。

168如果曲线为，则弧长大于。（）

169若曲线为，则弧长大于。（）

170求积分=？

171当?(x)在有界区间I上存在多个瑕点时，?(x)在I上的反常积分可以按常见的方式处理。如，可设?(x)是区间[a,b]上的连续函数，点a,b都是瑕点，则可以任意取定c∈(a,b)，如果在区间[a,c]和[c,b]上的反常积分同时收敛，那么在区间[a,b]上的反常积分也收敛。

172算式。

173当在有界区间上存在多个瑕点时，在上的反常积分可以按常见的方式处理：例如，设是区间上的连续函数，点都是瑕点，那么可以任意取定，如果反常积分同时收敛，则反常积分发散。（）

174如果你去登山，上午6点从山脚出发，一路上走走停停，直到中午12点才到山顶。然后你决定住宿一晚。第二天上午8点开始下山，2个小时之后到了山脚。问：是否存在某一时刻，使得你昨天和今天在同一高度。（）

175慢慢搅动的咖啡，当它再次静止时，是否咖啡中有一点在搅拌前后位置相同？（）

176如果你正在一个圆形的公园里游玩，手里的公园地图掉在了地上，此时你能否在地图上找到一点，使得这个点下面的地方刚好就是它在地图上所表示的位置？（）

177设为维单位闭球，是连续映射，则不存在一点，使得。

178设为的有界闭区间,是从射到内的连续映射，则不存在一点，使得。

179下列（）体现了压缩映射的思想。

180定义在区间[0，1]上的连续函数空间是（）维的。

181函数在实数域上的不动点是什么？（）

182任意维赋范线性空间中的有界无穷集合一定有收敛子列。（）

183有限维赋范线性空间中的有界无穷集合一定有收敛子列。（）

184电影abeautifulmind中男主人公的原型是一位经济学家，同时又是一位大数学家，他是（）。

185美籍法裔经济学家GDebreu由于（）贡献而获得了1983年的诺贝尔经济学奖。

186Debreu在解决一般均衡理论过程中所用到的Debreu-Gale-Nikaido定理与Brouwer定理的关系是（）。

187至今为止，共有50位经济学家获得了诺贝尔经济学奖。（）

1881968年，为庆祝瑞典建行300年，它以诺贝尔的名义颁发经济学奖。（）

189设幂级数在处收敛，则此级数在处？

190幂级数和它逐项求导后的级数以及逐项积分后的级数具有相同的收敛半径，但未必具有相同的收敛区间。（）

191设幂级数和的收敛半径分别为,则和级数=+的收敛半径

192下列著作（）可视为调和分析的发端。

193式子（其中）的值是什么？

194Fourier的工作使得对函数概念作一修改，即函数可以分段表示。（）

1951822年Fourier发表了《热的解析理论》。（）

196不完全性定理是由（）建立的。

197关于数学危机，下列说法正确的是？（）

198下列选项中，（）是产生悖论的根源。

199康托尔最大基数悖论与罗素悖论的共同特征是：自指性。（）

200超星尔雅学习通《数学的奥秘本质与思维（上海交通大学）》2023章节测试答案

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