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复变函数论

1证明z平面上的直线方程可以写成az+az=c（a是非零复常数，c是实常数）
2证明：n次代数方程P（z）=a0z^n+a1z^^n-1++an-1z+an=0（a0≠0）有且仅有n个根。
3证明方程e^z-λ=z（λ>1）在单位圆|z|<1内恰有一个根，且为实根。
4证明方程e^z-e^λz^n=0（λ>1）在单位圆|z|<1有n个根。
5设D是周线C的内部，f（z）在区域D内解析，在闭域D=D+C上连续，其模|f（z）|在C上为常数，试证：若f（z）不恒等于一个常数，则f（z）在D内至少有一个零点。
6设（1）f（z）在区域D内解析；（2）在某一点z0∈D有f^（n）（z0）=0，n=1，2试证f（z）在D内必为常数。
7设f（z）在z平面上解析，且|f（z）|恒大于一正的常数，试证f（z）必为常数。
8试证函数f（z）=e^x（xcosy-ysiny）+ie^x（ycosy+xsiny）在z平面上解析。
9试证函数f（z）=x^3-3xy^2+i（3x^2y-y^3）在z平面上解析。
10证明复平面上的圆周可以写成Azz+βz+βz+c=0其中A，C为实数，A≠0，β为复数，且|β|^2>AC
11将函数z^2（z-1）/z+1在圆环0<|z|<1内展为洛朗级数。
12将函数（z^2+1）（z-2）/z^2-2z+5在圆环1<|z|<2内展为洛郎级数。
13将函数z+1/z-1按z-1的幂展开，并指明其收敛范围。
14将函数z^2-2z+5/z按z-1的幂展开，并指明其收敛范围。
15设c表圆周x^2+y^2=3，f（z）=∫cζ-z/3ζ^2+7ζ+1dζ，求f（1+i）。
16计算积分∫cz^2-1/sin4/πzdz，c：|z+1|=2/1。
17验证u=x^2+xy-y^2是z平面上的调和函数，并求以u=x^2+xy-y^2为实部的解析函数f（z）=u+iv，使合f（i）=-1+i
18计算积分∫1-1|z|dz，积分路径是直线段。
19计算积分∫1-1|z|dz，积分路径是上半单位圆周。
20求将上半z平面imz>0共形变换成单位圆|?|<1的分式线性变换ω=L（z），使合条件L（i）=0，argL（i）=2/π。
21计算积分∫2x0A+cosθ/dθ（a>1）。
22计算积分∫2x0（2+√3cosx）^2/dx。
23解二项方程z^4+a^4=0（a>0）。
24计算积分∫+∞0（x^2+1）（x^2+4）/x^2dx
25计算积分∫2+i-2（z+2）^2dz
26计算积分∫c（x-y+ix^2）dz，积分路径c是连接由0到1+i的直线段。
27计算积分∫+∞-∞（x^2+1）（x^2+9）/cosxdx
28计算积分∫cz^2-1/sin4/πzdz，c：|z-1|=2/1。
29如果f（z）在扩充z平面上只有有限个孤立奇点，则f（z）在各点的留数总和。
30若函数f（z）在区域D内，则在D内f’（z）≠0。
31求将单位圆|z|<1共形变换成单位圆|?|<1分式线性变换ω=L（z），使合条件L（2/1）=0，L（1）=-1。
32设f（z）在点a解析，b是f（z）的奇点中（），则|b-a|=R即为f（z）在点a的邻域内的幂级数展式的收敛半径。
33若函数f（z）在z平面上的单连通区域D内连续，且沿D内任一周线C的积分，则f（z）在D内解析。
34如果f（z）在点a的主要部分为无限多项，则称a为f（z）的（）。
35如果w=f（z）在区域D内是（）的，则称此变换w=f（z）在区域D内是共形的。
36代数学基本定理说明在复数域中，n次多项式有且仅有（）个根。
37求将单位圆|z|<1共形变换成单位圆|?|<1的分式线性变换ω=L（z），使合条件L（2/1）=0，argL（2/1）=-2/π。
38级数的通项趋于零是级数收敛的（）条件。
39设z=1+i，则Im（sinz）=（）。
40若函数f（z）在z平面上的区域D内（），则f（z）在D内具有各阶导数。
41非常数的整函数必（）。
42若函数f（z）在z平面上的单连通区域D内（），则f（z）沿C的积分与路径无关。
43若函数f（z）在z平面上的（）区域D内解析，C为D内任一条周线，则f（z）沿C的积分为零。
44不等式Rez>0表示z平面上的区域是（）。
45若函数f（z）为整函数，且在点z=0取得最大模，则f（z）为（）。
46线性变换w=iz把闭圆|z-1|≤1变为（）。
47复数z=（1+i）3的主辐角argz=（）（-π
48方程z3=-8在复数域中共有个根。
49下列正确错误的是（）
50满足下列性质的非空点集D称为区域：①D为（）；②D中任意两点可用完全在D内的折线连接。
51若函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在点z=x+iy解析，则f（z）=。
52z=0是函数f（z）=z-sinz的阶零点
53函数w=1/z将z平面上的曲线x2+y2=4变成w平面上的曲线
54线性变换w=iz把以i，-1，1为顶点的三角形变为（）
55sin^2z+cos^2z=
56方程z3-5z2-2z+1=0在单位圆内根的个数为（）
57cos1/z在z=0处的留数为（）
58变换w=f（z）=z2+2z在点z=-1+2i处的伸缩率是（）
591，2，3，0四点的交比（1，2，3，0）是（）
60函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析的充要条件是（）。
61变换w=f（z）=z2+2z在点z=-1+2i处的旋转角是
62方程z3-5z2-12z+1=0在单位圆内根的个数为（）
632+i关于单位圆周的对称点是（）
64方程z3-5z2-2z+11=0在单位圆内根的个数为（）
65tanπz在z=k+1/2（k是整数）处的留数为（）
66（z-2）/（z-1）在z=∞处的留数为（）
67z=0是函数（1-cosz）/z3的极点，其阶数为（）
681/[（z-2）（z-3）]在z=∞处的留数为（）
693/（1-z）在z=∞处的留数为（）
70z=0是函数z^4/1-e^2x的极点，其阶数为（）
71cosz/z3在z=0处的留数为（）
721/[（z-2）（1-2z）2]在z=2处的留数为（）
73z=（k+1/2）π（k是整数）是tan2z的（）
74若a为f（z）的孤立奇点，且limz→af（z）=∞，则z=a是f（z）的（）
752+i关于圆周|z-（1+i）|=2的对称点是（）
76f（z），g（z）分别以z=a为m阶极点及n阶极点，则z=a是f（z）g（z）的极点，其阶数为（）
77若a为f（z）的孤立奇点，且f（z）在点a的某去心邻域内有界，则z=a是f（z）的（）
78方程10z3-5z2-2z+1=0在单位圆内根的个数为（）
791/[（z-2）2（z-3）]在z=2处的留数为（）
80分式线性变换具有共形性，保圆周性，（），（）。
81sin1/z在z=0处的留数为（）
82设f（z）不恒为零且以z=a为解析点，g（z）以z=a为本质奇点，则z=a是g（z）/f（z）的
83z=∞是1/（sinz+cosz）的（）
84z=i是函数1/（z2+1）3的极点，其阶数为
85设f（z）以z=a为极点，g（z）以z=a为本质奇点，则z=a是f（z）+g（z）的（）
863/（1-z）在z=1处的留数为（）
87z=-i是sin[1/（z+i）]的（）
88函数sinz-1在零点z=π/2的阶数是（）
89幂级数1+z+2z2+3z3+…的收敛半径为（）
90函数（z2+9）/z3在零点z=3i的阶数是（）
91幂级数1+z+z2/2!+z3/3!+…的收敛半径为（）
92当C为＿时，函数（sinπz/4）/（z2-1）沿C积分值为零。（）
93函数sinz3在零点z=0的阶数是（）
94函数f（z）=1/[（1-z）（2-z）]在z=0的某邻域内展成的幂级数的收敛半径为（）
95幂级数1+z+2!z2+3!z3+…的收敛半径为（）
96cosz的幂级数展式的收敛半径是（）
97下列函数中不是整函数（）
98若C为z平面上使得原点在其内部的任一周线，则下列函数中沿C积分不为零的是（）
99下列命题哪个不是函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析的充要条件（）
100若C为单位圆周|z|=1，则下列函数中沿C积分不为零的是（）
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